Question

（2012•东莞）如图，抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，进而确定AB、OC的长．
（2）直线l∥BC，可得出△AED、△ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题干条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围．
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S_△CDE、m的函数关系式，根据函数的性质可得到S_△CDE的最大面积以及此时m的值；
②过E做BC的垂线EM，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解．

解答：解：（1）已知：抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-9；
当x=0时，y=-9，则：C（0，-9）；
当y=0时，

1

2

x²-

3

2

x-9=0，得：x₁=-3，x₂=6，则：A（-3，0）、B（6，0）；
∴AB=9，OC=9．

（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

S△AED

S△ABC

=（

AE

AB

）²，即：

s

1 2 ×9×9

=（

m

9

）²，得：s=

1

2

m²（0＜m＜9）．

（3）解法一：∵S_△ACE=

1

2

AE•OC=

1

2

m×9=

9

2

m，
∴S_△CDE=S_△ACE-S_△ADE=

9

2

m-

1

2

m²=-

1

2

（m-

9

2

）²+

81

8

．
∵0＜m＜9，
∴当m=

9

2

时，S_△CDE取得最大值，最大值为

81

8

．此时，BE=AB-AE=9-

9

2

=

9

2

．
记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．
在Rt△BOC中，BC=

CO2+BO2

=

117

=3

13

．
∵∠OBC=∠MBE，∠COB=∠EMB=90°．
∴△BOC∽△BME，
∴

ME

OC

=

EB

CB

，
∴

r

9

=

9 2

117

，
∴r=

81

2 117

=

27 13

26

．
∴所求⊙E的面积为：π（

81

2 117

）²=

729

52

π．
解法二：∵S_△AEC=

1

2

AE•OC=

1

2

m×9=

9

2

m，
∴S_△CDE=S_△AEC-S_△ADE=

9

2

m-

1

2

m²=-

1

2

（m-

9

2

）²+

81

8

．
∵0＜m＜9，
∴当m=

9

2

时，S_△CDE取得最大值，最大值为

81

8

．此时，BE=AB-AE=9-

9

2

=

9

2

．
∴S_△EBC=

1

2

S_△ABC=

81

4

．
如图2，记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．
在Rt△BOC中，BC=

92+62

=

117

．
∵S_△EBC=

1

2

BC•EM，
∴

1

2

×

117

r=

81

4

，
∴r=

81

2 117

=

27 13

26

．
∴所求⊙E的面积为：π（

81

2 117

）²=

729

52

π．

点评：该题主要考查了二次函数的性质、相似三角形的性质、图形面积的求法等综合知识．在解题时，要多留意图形之间的关系，有些时候将所求问题进行时候转化可以大大的降低解题的难度．