Question

如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 答

（1）将M(2, 2)代入，得．解得m＝4．

（2）当m＝4时，．所以C(4, 0)，E(0, 2)．

所以S_△BCE＝．

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

设对称轴与x轴的交点为P，那么．

因此．解得．所以点H的坐标为．

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．

设点F的坐标为，由，得．

解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．

由，得．所以．

由，得．

整理，得0＝16．此方程无解．

图2                  图3                   图4

②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．

在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．

解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．

由，得．解得．

综合①、②，符合题意的m为．