Question

如图，梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠B=30°．折叠纸片使BC经过点A，点B落在点B′处，EF是折痕，且BE=EF=4，AF∥CD．
（1）求∠BAF的度数；
（2）当梯形的上底AD多长时，线段DF恰为该梯形的高？

Answer 1

【答案】分析：（1）由BE=EF得到∠EFB=∠B，根据折叠的性质得到△B'EF≌△BEF，则∠EFB’=∠EFB=∠B=30°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠BAF=90°；
（2）连接DF，在△∠AEF中，∠EAF=90°，∠EFA=30°，EF=4，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AF=AE=2，由于AD∥BC，AF∥CD，则四边形AFCD是平行四边形，所以∠C=∠AFB=60°，CD=AF=2，当DF⊥BC，FC=DC=，易得到AD=FC=．
解答：解：（1）∵BE=EF，
∴∠EFB=∠B，
∵△B'EF≌△BEF，
∴∠EFB’=∠EFB=∠B=30°，
∴∠BAF=180°-30°-30°-30°=90°；
（2）连接DF，
∵在△AEF中，∠EAF=90°，∠EFA=30°，EF=4，
∴AE=EF=2，AF=AE=2，
∵AD∥BC，AF∥CD
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴∠C=∠AFB=60°，CD=AF=2，
∵DF⊥BC，
∴FC=DC=，
∴AD=FC=，
即梯形的上底AD为时，线段DF恰为该梯形的高．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等．也考查了平行四边形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．