Question

已知正方形ABCD的边长为

2

+1，过正方形的顶点A和对角线交点O作⊙O′，分别交AB、AD于F、E，⊙O′的半径为

3

2

．
（1）求证：AE=BF．
（2）现给出以下两个结论：①△AEF的面积不变；②

AE

AF

的值不变．其中只有一个结论是正确的，请选择正确的结论并求其值．

Answer 1

分析：（1）连接OE、OF，利用旋转及正方形的性质可证△AOE≌△BOF，可得AE=BF；
（2）连接EF，由∠EAF=90°，可判断EF为直径，由勾股定理得AE²+AF²=3，由（1）的结论可知AE+AF=AB=

2

+1，将AE+AF=

2

+1两边平方，可得AE•AF=2

3

，从而计算△AEF的面积．

解答：（1）证明：连接OE、OF，
由圆内接四边形性质可知∠EAF+∠EOF=180°，且∠EAF=90°，
∴∠EOF=90°，
由正方形的性质可知，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴AE=BF；

（2）解：△AEF的面积不变，正确．
理由：连接EF，
∵∠EAF=90°，∴直径EF=

3

，
由勾股定理，得AE²+AF²=3，
又AE+AF=AB=

2

+1，
解得AE•AF=

2

，
∴S_△AEF=

1

2

AE•AF=

2

2

．

点评：本题考查了用旋转的性质证明全等三角形的方法，正方形、圆的有关性质及勾股定理的运用．关键是利用旋转的知识寻找三角形全等的条件．