Question

已知二次函数y=2x²-4x-6，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．

Answer 1

解：（1）△=b²-4ac
=（-4）²-4×2×（-6）
=64
∵△＞0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点．

（2）根据题意，得
2x²-4x-6=0 ①
解①得x₁=-1，x₂=3即A（-1，0），B（3，0），
∴在△ABP中，AB=4，
∵PC=|=|=8，
∴在△ABP中，S_△ABP===16
∴三角形ABP的面积是16．
分析：（1）根据b²-4ac与0的关系即可判断出二次函数y=2x²-4x-6的图象与x轴交点的个数；
（2）在二次函数图象中，底边在x轴的三角形，底边上的两顶点关于直线x=-对称，且底边上的高就在这条直线上．
点评：求三角形ABP的底边时，根据二次函数的对称性求得底边AB的长度，根据顶点坐标求得底边上的高，然后代入三角形面积公式S=底×高求出面积即可．