Question

如图，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，BP=2，AP=2

3

cm，求图中阴影部分的周长和面积（结果保留π）．

Answer 1

分析：连接OA，由AP为圆的切线，得到OA与AP垂直，在直角三角形OAP中，设OA=OB=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，利用弧长公式求出弧AB长，即可确定出阴影部分的周长，直角三角形OAP的面积减去扇形AOB面积即可确定出阴影部分面积．

解答：解：连接OA，由AP为圆O的切线，得到OA⊥AP，
设OA=OB=xcm，则OP=OB+BP=（x+2）cm，AP=2

3

cm，
根据勾股定理得：OP²=OA²+AP²，即（x+2）²=x²+12，
解得：x=2，即OA=OB=2，
∴OP=2+2=4cm，
∵Rt△AOP中，OA=

1

2

OP，
∴∠P=30°，
∴∠AOB=60°，
∴

AB

的长为

60π×2

180

=

2π

3

，S_扇形AOB=

60π×4

360

=

2π

3

，
则阴影部分的周长为

2π

3

+2

3

+2（cm），面积为S_△AOP-S_扇形AOB=

1

2

×2×2

3

-

2π

3

=2

3

-

2π

3

（cm²）．

点评：此题考查了切线的性质，扇形面积及弧长公式，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．