Question

在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为x（m），花园的面积为y（m²）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m²吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；
（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）设花园靠墙的一边长为x（m），另一边长为

40-x

2

，用面积公式表示矩形面积；
（2）就是已知y=200，解一元二次方程，但要注意检验结果是否符合题意；即结果应该是0＜x≤15．
（3）由于0＜x≤15，对称轴x=20，即顶点不在范围内，y随x的增大而增大．∴x=15时，y有最大值．

解答：解：（1）根据题意得：y=x•

40-x

2

，
即y=-

1

2

x²+20x（0＜x≤15）
（2）当y=200时，即-

1

2

x²+20x=200，
解得x₁=x₂=20＞15，
∴花园面积不能达到200m²．
（3）∵y=-

1

2

x²+20x的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=20，
∴当0＜x≤15时，y随x的增大而增大．
∴x=15时，y有最大值，
y_最大值=-

1

2

×15²+20×15=187.5m²
即当x=15时，花园的面积最大，最大面积为187.5m²．

点评：本题考查实际问题中二次函数解析式的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．