Question

如图，直角梯形ABCD中，点A为坐标原点，B（6，0），BC=5，cosB=

4

5

．
（1）求梯形ABCD的面积和周长；
（2）若点E在线段AB上运动，过点E任作直线，问是否存在直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，请求出对应的直线l解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图过C作CF⊥AB于F，这样把梯形分割成矩形和直角三角形，然后解直角三角形BCF，可以求出BF，CF，最后求出梯形ABCD的面积和周长；
（2）存在直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分，设AE=x，可以根据周长和面积平分得到关于x的方程，解方程可以求出x的值，然后结合图形的实际情况判断有三种情况，取舍不存在的情况．

解答：解：（1）过C作CF⊥AB于F，
∵BC=5，cosB=

4

5

，
∴BF=4，CF=3，∴AD=3，
∴AB=6，
∴CD=AF=2，
∴梯形ABCD周长=AB+BC+CD+AD=6+5+2+3=16，
S=

1

2

（AB+CD）•AD
=

1

2

×8×3=12．

（2）令AE=x，（0≤x≤6），
分三种情况讨论：
①如图，

若l与线段AD交于点P，则AP=8-x，
S_△AEP=

1

2

AE•AP=

1

2

x（8-x），
由S_△AEP=

1

2

S_梯形ABCD=6得：
x²-8x+12=0，
解得：x=2或6，即AE=2，AP=6时，直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分，直线l不存在；
当AE=6，AP=2时，直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分．
②如图，

若l与线段DC交于点P，
则DP=5-x，
S_{四边形AEPD}=

1

2

（x+5-x）×3=

15

2

≠6，
此时直线l不存在．
③如图，

若l与线段BC交于点P，
则BE=6-x，
∵AD+DC+CP+AE=PB+EB，
3+2+5-BP+x=BP+6-x，
∴PB=2+x，
过P作PG⊥AB于G，则

PG

CF

=

PB

BC

，
∴PG=

3

5

（2+x），
S_△PEB=

1

2

（6-x）•

3

5

（2+x），
由S_△PEB=6得：x²-4x+8=0，
∵△＜0，此方程没有实数根，
此时直线l不存在，
综上所述，当AE=6，AP=2时，直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分．

点评：此题比较复杂，尤其是第二问图形的变换与分类讨论，它主要考查了梯形的常用辅助线-作高线，还综合了方程，一次函数，梯形的知识，对学生的要求比较高．