题目内容
已知自然数n的所有正约数的和是2n，则所有正约数的倒数和是多少？且证明你的结论．分析：先设自然数n的所有正约数分别为x1，x2，x3，x4，…，xm．然后根据题意列出式子化简求解．
解答：解：正约数的倒数和为2．
设其正约数依次为：x1，x2，x3，x4，…，xm．
其中x1=1，xm=n，则x1+x2+x3+…+xm=2n，
∴
+
+
+…+
+
，
=（
+
）+（
+
）+…+（
+
），
=
+
+…+
，
=
=2．
设其正约数依次为：x1，x2，x3，x4，…，xm．
其中x1=1，xm=n，则x1+x2+x3+…+xm=2n，
∴
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
| 1 |
| xm-1 |
| 1 |
| xm |
=（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| xm |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xm-1 |
| 1 |
| xi |
| 1 |
| xm+1-i |
=
| x1+xm |
| x1•xm |
| x2+xm-1 |
| x2•xm-1 |
| xm+1-i+xi |
| xi•xm+1-i |
=
| 2n |
| n |
点评：本题考查了约数的概念及应用，进而求出所有正约数的倒数和．
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