Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象记为抛物线l1．

（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不经过点B．请写出平移后抛物线的解析式（任写一个即可）；

（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，记为抛物线l2，求抛物线l2的函数关系式；

（3）如图2，设抛物线l2的顶点为C，K为y轴上一点．若S△ABK=S△ABC，求点K的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+1（2）（0，）或（0，）

【解析】

（1）可将抛物线b1向上平移，设平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+b，由点A的坐标为（1，2），利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；

（2）根据题意可设抛物线b2的函数关系式为y=x2+bx+c，由点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；

（3）首先根据题意求得点C的坐标，即可求得△ABC的面积，然后分别从点K在A的上方与下方去分析求解，即可求得点K的坐标．

解：（1）向上平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过点A，

设平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+b，

∵点A的坐标为（1，2），

∴2=1+b，

解得：b=1，

∴平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+1；

∵点B的坐标为（3，1），

∴32+1≠1，

∴平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+1；

故答案为：y=x2+1．

（2）设∵抛物线b2经过A，B两点，

∴，

解得：，

∴抛物线b2的函数关系式为：y=x2﹣x+；

（3）∵y=x2﹣x+=（x﹣）2+，

∴点C的坐标为（，），

过点C作CG⊥y轴，BF⊥y轴，AE⊥y轴，

∴AE=1，BF=3，CG=，EF=2﹣1=1，FG=1﹣=，EG=2﹣=，

∴S△ABC=S梯形ABFE+S梯形BCGF﹣S梯形ACGE=（AE+BF）EF+（CG+BF）GF﹣（AE+CG）EG=，

若K在A点上方，坐标为（0，y）

S△ABK=S△BNK﹣S△AMK﹣S梯形ABNM=BNNK﹣AMMK﹣（AM+BN）MN=×3×（y﹣1）﹣×1×（y﹣2）﹣×（1+3）×1=，

∵S△ABK=S△ABC，

∴=，

解得：y=，

则点K（0，）；

同理：若K在A的下方时，则点K（0，）；

∴点K的坐标为（0，）或（0，）．