Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，P是对角线AC上一动点，连接PD，过点P作PE⊥PD交线段BC于E，设AP=x．
（1）求PD：PE的值；
（2）设DE²=y，试求出y与x的函数关系式，并求x取何值时，y有最小值；
（3）当△PCD为等腰三角形时，求AP的长．

Answer 1

解：（1）过P作MN⊥BC交BC、AD于N、M，则MN∥CD．
∴，
∴，，
∴，．
∵∠MPD+∠MDP=∠MPD+∠NPE=90°，
∴∠MDP=∠NPE．
又∵∠DMP=∠PNE=90°，
∴△DMP∽△PNE．
∴，
∴PD：PE=2：1；

（2）∵PM=x，
∴．
∵CN=，，
∴．
∵DE²=CD²+CE²，
∴．
当DP⊥AC时y有最小值，可求AP=，即当x=时，y有最小值．

（3）当PD=PC时，则AP=；
当CP=CD时，则AP=；
当DP=DC时，则AP=．
分析：（1）此题要通过构建相似三角形求解，过P作MN⊥BC于N，交AD于M，若AP=x，通过△APM∽△ACD即可得到PM、DM的表达式，同理可求得PN、CN表达式，由于PD⊥PE，可证得△PDM∽△EPN，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到PD：PE的值．
（2）由于△DPE是直角三角形，即可由勾股定理求得DE²的表达式，也就得到了关于y、x的函数关系式，根据函数的性质即可求出y的最小值及对应的x的值．
（3）在上面两个题中，已经求得了PD、PC的表达式，可根据：
①PD=PC，②PD=DC，③PC=CD，三个不同的等量关系，列方程求出对应的x的值，即AP的长．
点评：此题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．