Question

如图，已知经过坐标原点的⊙P与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6），点C是第一象限内⊙P上一点，CB=CO，抛物线y=ax²+bx经过点A和点C．
（1）求⊙P的半径；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点D，使得点A、点B、点C和点D构成矩形？若存在，直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理得出AB是⊙P的直径，进而利用勾股定理得出AB的长，即可得出半径；
（2）首先得出C点坐标，进而将A，C点的坐标代入抛物线解析式即可；
（3）利用数形结合以及矩形的性质得出直线BD的解析式，进而联立两函数得出D点坐标即可．

解答：解：（1）连接AB，
∵∠AOB=90°，∴AB是⊙P的直径，
∵点A（8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∴AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10，
∴⊙P的半径是5；

（2）作CH⊥OB，垂直为H，
∵CB=CO，∴H是OB的中点，
∴CH过圆心P，
PH=

PB2-BH2

=

52-32

=4，
∴C的坐标是（9，3），
把A、C坐标分别代入y=ax²+bx得：

64a+8b=0 81a+9b=3

，
解得：

a= 1 3 b=- 8 3

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

8

3

x；

（3）设直线AC的解析为y=kx+c，
∵A（8，0），C（9，3），
∴

8k+c=0 9k+c=3

，
解得：

k=3 c=-24

，
∴直线AC的解析为y=3x-24，
∵点A、点B、点C和点D构成矩形，
∴BD∥AC，
∴设BD解析式为y=3x+d，∵直线BD过B点，
∴d=6，
∴BD解析式为：y=3x+6，
将y=3x+6与y=

1

3

x²-

8

3

x联立得：
3x+6=

1

3

x²-

8

3

x，
解得；x₁=-1，x₂=18（不合题意），
x=1时，y=3，
∴D（-1，3）．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和待定系数法求抛物线解析式以及矩形的性质等知识，利用数形结合得出D点位置是解题关键．