Question

在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴交于点A,B（点B在点A的左侧）,与轴交于点C.过动点H（0, ）作平行于轴的直线,直线与二次函数的图像相交于点D,E.

（1）写出点A,点B的坐标;

（2）若,以DE为直径作⊙Q,当⊙Q与轴相切时,求的值;

（3）直线上是否存在一点F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：（1）当=0时，有，解之得：，，∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（－1，0）.

（2）∵⊙Q与轴相切，且与交于D、E两点，

∴圆心O位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q的半径为H点的纵坐标（）

∵抛物线的对称轴为，

∴D、E两点的坐标分别为：（－，），（＋，）且均在二次函数的图像上，

∵，解得或（不合题意，舍去）

（3）存在.

①当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥轴于G，∴∠AOC=∠CGF=90°，

∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG，∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4，

∵CO=2，∴=OG=2+4=6；

②当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥轴于P，∴∠AOC=∠APF=90°，

∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP，∴△ACO≌△∠FAP，∴FP =AO=4，

∴=FP =4；

③当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时=3或=1