Question

(满分l3分)如图，对称轴为直线x=一的抛物线经过点A(-6，0)和点B(0，4)．

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)设点E(x，y)是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求□OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当□OEAF的面积为24时，请判断□OEAF是否为菱形?
②是否存在点E，使□OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+)²+k(k≠0)，          ……1分
则依题意得： a+k="0                                     " ……3分
a+k="4         "
解之得：   a=，                                          ……4分
k=-
即：y=(x+) ²-，顶点坐标为(-，-)．              ……5分
(2) ∵点E(x，y)在抛物线上，且位于第三象限．
∴S=2S_△OAE=2××0A×(-y)
="-6y   "
=-4(x+)²+25(-6<x<-1)．                                ……8分
① 当S=24时，即-4(x+)²+25=24，
解之得：x₁=-3,x₂=-4
∴点E为(-3，-4)或(-4，-4)
当点E为(-3，-4)时，满足OE=AE，故□OEAF是菱形；当点E为(-4，-4)时，不满足OE=AE，故□OEAF不是菱形．                                       ……12分
②当0E⊥AE且OE=AE时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标为(-3，-3)，而点E不在抛物线上，故不存在点E，使□OEAF为正方形。                 ……13分

解析