Question

如图1，四边形ABCD是正方形，点E和点F分别在CD和DA上，且∠CBF=∠EFB
（1）小方同学发现，当E为CD的中点时，tan∠ABF=

1

3

，当DE=

1

3

CD时，tan∠ABF=

1

5

，当DE=

1

4

CD时，tan∠ABF=

1

7

，那么当DE=

1

5

CD时，tan∠ABF=

 

．
（2）如图2，当DE=

1

k+1

CD时，tan∠ABF=

 

．证明你的猜测的正确性．

Answer 1

分析：（1）观察题干给出的信息可以发现：可以发现当DE=

1

n

CD时，tan∠ABF=

1

n+(n-1)

，根据此规律即可求得当DE=

1

5

CD时，tan∠ABF的值；
（2）作BM⊥EF于点M，连接BE．分别求证△AFB≌△MFB，△BCE≌△BME，得出AF=FM，AB=BM，EC=EM，
然后设DE=1，FM=a，利用勾股定理即可求得答案．

解答：解：（1）当E为CD的中点时，即当DE=

1

2

CD时，tan∠ABF=

1

3

=

1

2+1

；
当DE=

1

3

CD时，tan∠ABF=

1

5

=

1

3+2

；
当DE=

1

4

CD时，tan∠ABF=

1

7

=

1

4+3

；
…
可以发现当DE=

1

n

CD时，tan∠ABF=

1

n+(n-1)

；

那么当DE=

1

5

CD时，tan∠ABF=

1

5+(5-1)

=

1

9

．
故答案为：

1

9

．

（2）

1

2k+1

．
作BM⊥EF于点M，连接BE．
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
又∠EFB=∠FBC，
∴∠AFB=∠BFM，
∠A=∠FMB=90°，BF=BF，
∴△AFB≌△MFB，
∴AF=FM，AB=BM，
∵BM=AB=BC，∠BME=∠C=90°，BE=BE
∴△BCE≌△BME，
∴EC=EM，
设DE=1，FM=a，则CE=k，
则FD=1+k-a，ME=CE=k
勾股定理得：DE²+FD²=EF²，
∴1²+（1+k-a）²=（a+k）²
解得：a=

k+1

2k+1

∴tan∠ABF=

a

k+1

=

1

2k+1

．

点评：此题主要考查学生对正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义的理解和掌握，涉及到的知识点较多，综合性较强，有一定的拔高难度，是一道难题．第（1）题的解答关键是通过观察题目给出的信息总结归纳出规律；第（2）题的解答关键是关键是作好辅助线．