Question

已知四边形ABCD，以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连结这四个正方形的对角线交点E，F，G，H，得到一个新四边形EFGH.

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH（    ）（填“是”或“不是”）正方形；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，则（1）中的结论（    ）（填“能”或“不能”）成立；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变， 判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由.

Answer 1

（1）是 ； （2）能 ；
（3）证明：连结EF，FG，GH，HE，AE，AH，DG，DH，
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD，即以AB，CD分别为边的正方形的对角线也相等.
∵点E，G是上述两个正方形的对角线交点，
∴AE=DG.
∵点H是以AD为一边的正方形的对角线交点,
∴AH=DH. 易知
∵平行四边形ABCD中，有
∴
∴
∴
∴HG=HE且 
同理可证HE=EF=FG. ∴四边形EFGH是菱形.
∵点H是正方形的对角线交点, ∴, 即.
∴.
∴四边形EFGH是正方形.