Question

如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E．
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC=CD，求∠C．

Answer 1

分析：（1）连接AG，由角的等量关系可以证出∠1=∠2，然后证明△AED≌△AGD得到∠AGD=90°，
（2）由（1）知AG⊥GD，根据角间的等量关系，解出∠6，继而求出∠C的值．

解答：解：（1）结论：GD与⊙O相切．理由如下：
连接AG．
∵点G、E在圆上，
∴AG=AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠B=∠1，∠2=∠3．
∵AB=AG，
∴∠B=∠3．
∴∠1=∠2．
在△AED和△AGD中，

AE=AG ∠1=∠2 AD=AD

，
∴△AED≌△AGD．
∴∠AED=∠AGD．
∵ED与⊙A相切，
∴∠AED=90°．
∴∠AGD=90°．
∴AG⊥DG．
∴GD与⊙A相切．

（2）∵GC=CD，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，∠4=∠5，AB=AG．（5分）
∵AD∥BC，
∴∠4=∠6．
∴∠5=∠6=

1

2

∠B．
∴∠2=2∠6．
∴∠6=30°．
∴∠C=180°-∠B=180°-60°=120°．（6分）

点评：本题考查了切线的判定，全等三角形判定和平行四边形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．