Question

(1)问题探究

如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK＝∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D₁M与线段D₂N的数量关系，并加以证明．

(2)拓展延伸

①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K₁H₁，K₂H₂，分别交直线AB于点H₁，H₂，使∠AH₁K₁＝∠BH₂K₂＝∠ACD₁．作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分别为点M，N．D₁M＝D₂N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D₁M＝D₂N是否仍成立？(要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)D1M＝D2N．1分 　　证明：∵∠ACD1＝90°， 　　∴∠ACH＋∠D1CK＝90° 　　∵∠AHK＝∠ACD1＝90°， 　　∴∠ACH＋∠HAC＝90° 　　∴∠D1CK＝∠HAC；2分 　　∵AC＝CD1， 　　∴△ACH≌△CD1M 　　∴D1M＝CH．3分 　　同理可证D2N＝CH 　　∴D1M＝D2N．4分 　　(2)①证明：D1M＝D2N成立．5分 　　过点C作CG⊥AB，垂足为点G． 　　∵∠H1AC＋∠ACH1＋∠AH1C＝180°， 　　∠D1CM＋∠ACH1＋∠ACD1＝180°， 　　∠AH1C＝∠ACD1， 　　∴∠H1AC＝∠D1CM．6分 　　∵AC＝CD1，∠AGC＝∠CMD1＝90°， 　　∴△ACG≌△CD1M． 　　∴CG＝D1M．7分 　　同理可证CG＝D2N． 　　∴D1M＝D2N．8分 　　②作图正确．9分 　　D1M＝D2N还成立．10分