Question

如图15，在Rt△ABC中，，CP平分∠ACB，CP与AB交于点D，且 PA=PB．

【小题1】请你过点P分别向AC、BC作垂线，垂足分别为点E、F，并判断四边形PECF的形状
【小题2】求证：△PAB为等腰直角三角形
【小题3】设，，试用、的代数式表示的周长；
【小题4】试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，请直接写出这个不变的值，若变化，试说明理由

Answer 1

【小题1】过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足分别为E、F（如图4）    …………1分

∵∠ACB=90°又由作图可知PE⊥AC、PF⊥CB，∴四边形PECF是矩形，
又∵点P在∠ACB的角平分线上，且PE⊥AC、PF⊥CB，∴PE=PF，
∴四边形PECF是正方形．                                …………2分
【小题2】证明：在Rt△AEP和Rt△BFP中，
∵PE=PF，PA=PB，∠AEP=∠BFP= 90°，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP．
∴∠APE=∠BPF．
∵∠EPF= 90°，从而∠APB= 90°．
又因为PA=PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．               …………5分
【小题3】如图4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，
∴AB=PA= ．                                       …………6分
由（2）中的证明过程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，
所以，在正方形PECF中，CE=PC=n．
∴CA+CB=2CE=．
所以△ABC的周长为：AB+BC+CA=+
【小题4】不变， ．                                  …………9分
【参考证明：如图4，∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，
∴△ADC∽△PDB，故，即 ，……①
同理可得，△CDB∽△ADP，得到 ，   ……②
又PA=PB，则①+②得：===．
所以，这个值仍不变为．】解析:
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）利用三角形全等证得等腰直角三角形