Question

已知关于x的一元二次方程x²-x+2m-2=0的两个实根为x₁，x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x₁、x₂满足x₁+2x₂=m+1，求实数m的值．

Answer 1

解：（1）由题意得：
一元二次方程的判别式△=1-4（2m-2）=-8m+9≥0，
∴m≤，
∴m的取值范围为m≤；
（2）∵x₁+x₂=1，
又2x₁+x₂=m+1，x₁x₂=2m-2，
∴x ₁=m，x ₂=1-m，
∴x₁x₂=2（m-1）=2m-2，
∴-m ²+m=2m-2，
∴m ²-m+2=0，
∴m=-2，或 m=1；
∵m=-2和 m=1均在m＜取值范围内；
∴m的取值为m=-2或 m=1．
分析：（1）根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需用△≥0求出m即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，首先将|x₁-x₂|=2，变形得出两根之和与两根之差的形式，结合x₁+x₂=-，x₁x₂=，求出即可．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，求出（2）中两根用m表示是解决问题的关键．