Question

如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于E，∠E=β₁；∠EBD、∠ECD的平分线交于F，∠F=β₂；如此下去，∠FBD、∠FCD的平分线的交角为β₃；…若∠A=40°，∠D=32°，则β₄为________度．

Answer 1

32.5
分析：先根据角平分线的性质得出∠ABE=∠DBE，∠ACE=∠DCE，再由三角形外角的性质可得出∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE，∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE，再根据∠A=40°，∠D=32°即可得出∠E的度数，同理即可得出β₂、β₃、β₄的度数．
解答：∵∠ABD、∠ACD的平分线交于E，∠EBD、∠ECD的平分线交于F，
∴∠ABE=∠DBE （1），
∠ACE=∠DCE （2），
∵∠BOC是△COE与△AOB的外角，
∴∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE （3），
∵∠BPC是△BEP与△PCD的外角，
∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE （4）
（3）+（4），得：2∠E+∠ACE+∠DBE=∠A+∠D+∠ABE+∠DCE （5）
把（1），（2），代入（5），
化简得：∠E===36°，
∴∠β₁=36°，
同理可得，∠β₂====34°，
∠β₃====33°，
∴∠β₄===32.5°．
故答案为：32.5．

点评：本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质、三角形外角的性质，根据以上知识求出β₁、β₂的度数，找出规律是解答此题的关键．