Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8， 点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．

         

（1）若              ，求∠F的度数；

（2）设写出与之间的函数解析式，并写出自变量取值范围；

（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．

Answer 1

（1）连结OE

∵=   ∴∠BOE=∠EOD

  ∵OD//BF     ∴∠DOE=∠BEO  

∵OB=OE     ∴∠OBE=∠OEB                        

∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°

∵∠FCB=90°∴ ∠F=30°                    

(2)作OH⊥BE，垂足为H，

∵∠DCO=∠OHB=90°，OB=OD，∠OBE=∠COD

∴△HBO≌△COD                               

∴    

∵OD//BF   ∴△COD∽△CBF   ∴                         

 ∴   ∴        

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB

       ∴ ∠COD=∠DOE， ∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上

若△PBE为等腰三角形

①     当PB=PE，不合题意舍去；                    

②     当EB=EP                   

③     当BE=BP   易证△OBE∽△BEP

∴     ∴

整理得： （负数舍去）       

综上所述：当OC的长为或时，△PBE为等腰三角形。