Question

如图，正五边形ABCDE中，若对角线AC=6，则正五边形的边长为（　　）

• A、-3+3

  5

• B、-4+4

  5

• C、-5+5

  5

• D、-6+6

  5

Answer 1

分析：连接AD，根据正五边形的特点求出△ABC≌△AED，△ACD为等腰三角形，作∠ACD的平分线，交AD于F；根据△ACD与△CDF各角的度数可求出△FCD∽△CAD，根据其对应边成比例即可解答．

解答：解：
连接AD；
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠BAE=

3×180°

5

=108°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=

180°-108°

2

=36°，
同理可知，∠AED=108°，AB=BC=AE=DE，
∴△ABC≌△AED，AC=AD；
∵∠BAC=∠DAE=36°，∠BAE=108°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°，
∴∠ACD=∠ADC=72°；
作∠ACD的平分线，交AD于F，根据题意，∠CAD=36°，∠ACD=∠ADC=72°；
∴∠ACF=∠FCD=36°，AF=CF=CD，
∴△FCD∽△CAD，
∴设CD=x，则

CD

AC

=

FD

CD

，即

x

6

=

6-x

x

，
∴x=-3+3

5

．

点评：此题比较复杂，解答此题的关键是熟知正五边形的特点，及全等、相似三角形的判定定理及性质，作出辅助线，构造出相应的三角形．