Question

如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G，求证：CE＝(AB＋CD)．

Answer 1

答案：
解析：

证明：过C作CF∥BD交AB的延长线于F，则四边形DBFC是平行四边形． 　　∴BF＝CD，BD＝CF 　　∵AD＝BC，∴AC＝BD＝CF 　　∵CE⊥AF，∴AE＝EF 　　∵AC⊥BD，BD∥CF，∴AC⊥CF 　　∴CE是Rt△ACF的斜边AF上的中线． 　　∴CE＝AF＝(AB＋BF)＝(AB＋CD) 　　说明：此题也可以采用下面证法，(1)因为梯形ABCD是等腰梯形，且AC⊥BD，则△ABG是等腰直角三角形，则有∠CAB＝，推出△ACE是等腰直角三角形，CE＝AE，作梯形的另一条高DH，则DH＝BH，从而2CE＝CE＋DH＝AE＋BH＝AB＋HE＝AB＋CD，所以CE＝(AB＋CD)． 　　(2)由上述可知：△ABG、△CDG、△ACE均为等腰直角三角形，则有AC＝CE，AB＝AG，CD＝CG， 　　则AB＋CD＝AG＋CG＝(AG＋CG)＝AC＝·CE＝2CE．从而证出CE＝(AB＋CD)．