题目内容

如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于F．
（1）当点G在线段BC上时，如图1，求证：DE-BF=EF；
（2）当点G在线段CB的延长线上时，如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是
DE+BF=EF
DE+BF=EF
；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过F作FP∥GC，交AC于点P，连接DP，若∠ADE=30°，GB=
4
3
3
，求DP的长．
分析：（1）先根据正方形的四条边都相等可得DA=AB，由同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，再利用“角角边”证明△ABF≌△DAE，然后根据全等三角形对应边相等得出BF=AE，AF=DE，最后根据线段的和差关系即可得证；
（2）方法同（1）还是证明△ABF≌△DAE，得出DE=AF，BF=AE，然后结合图形可得出结论DE+BF=EF；
（3）先解直角△ABG，求出AB=4，AG=
8
3
3
，解直角△ABF，得出AF=2
3
，再由FP∥GC，根据平行线分线段成比例定理得到
AP
AC
=
AF
AG
，求出AP=3
2
，然后在△APD中运用余弦定理即可求出DP的长．
解答：（1）证明：∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠AFB=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，
∠BAF=∠ADE
∠AFB=∠DEA=90°
AB=DA
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF；

（2）解：如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是DE+BF=EF．理由如下：
∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠DAE+∠ADE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=180°-∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，
∠BAF=∠ADE
∠AFB=∠DEA=90°
AB=DA
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE+BF=AF+AE=EF．
故答案为DE+BF=EF；

（3）解：∵AD∥GC，
∴∠G=∠EAD=90°-∠ADE=90°-30°=60°．
在△ABG中，∵∠ABG=90°，∠G=60°，GB=
4
3
3
，
∴AB=GB•tan∠G=
4
3
3
×
3
=4，AG=2GB=
8
3
3
．
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=
1
2
AB=2，AF=
3
BF=2
3
．
∵FP∥GC，
∴
AP
AC
=
AF
AG
，
AP
4
2
=
2
3
8
3
3
，
∴AP=3
2
．
在△APD中，∵AP=3
2
，AD=AB=4，∠DAP=45°，
∴DP2=AP2+AD2-2AP•ADcos∠DAP=18+16-2×4×3
2
×
2
2
=10，
∴DP=
10
．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，余弦定理，第三问有一定难度，（3）中求出AP的长度是解题的关键．
练习册系列答案
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