Question

把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：a₁，a₂，…，a_n，…，例如：a₁=2²-1²=3，a₂=3²-2²=5，a₃=4²-3²=7，a₄=3²-1²=8，…，那么a₁+a₂+…+a₉₉+a₁₀₀的值是

6999

．

Answer 1

分析：先根据偶数中不是4的倍数的整数不可能是两整数的平方差可知a₁=3，a₂=5，a₃=7，当k≥2时分别把4k、4k+1、4k+3表示出两个正整数平方差的形式，再分别求出a₄+a₅+a₆、a₇+a₈+a₉的值，找出规律即可求解．

解答：解：∵偶数中不是4的倍数的整数不可能是两整数的平方差，
∴a₁=3，a₂=5，a₃=7…，
当k≥2时，有
4k=（k+1）²-（k-1）²，
4k+1=（2k+1）²-（2k）²，
4k+3=（2k+2）²-（2k+1）²，
且4k+（4k+1）+（4k+3）=12k+4，
∴a₄+a₅+a₆=12×2+4，
a₇+a₈+a₉=12×3+4，
…
a₉₇+a₉₈+a₉₉=12×33+4，
a₁₀₀=4×34，
则a₁+a₂+…+a₉₉+a₁₀₀=3+5+7+12（2+3+…+33）+4×32+4×34=6999．
故答案为：6999．

点评：本题考查的是整数问题的综合运用，熟知“偶数中不是4的倍数的整数不可能是两整数的平方差”的知识是解答此题的关键．