Question

（2013•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．
（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；
（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点：①运动开始至QC与⊙P相切时（0＜t≤

16

7

）；②重合分离后至运动结束（

40

13

＜t≤5）．

解答：解：（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10，
∴cos∠BAO=

OA

AB

=

4

5

，sin∠BAO=

OB

AB

=

3

5

．
∵AC为⊙P的直径，
∴△ACD为直角三角形．
∴AD=AC•cos∠BAO=2t×

4

5

=

8

5

t．
当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA，
即：t+

8

5

t=8，
解得：t=

40

13

．
∴t=

40

13

（秒）时，点Q与点D重合．

（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×

3

5

=

6

5

t．
①当0＜t≤

40

13

时，
DQ=OA-OQ-AD=8-t-

8

5

t=8-

13

5

t．
∴S=

1

2

DQ•CD=

1

2

（8-

13

5

t）•

6

5

t=-

39

25

t²+

24

5

t．
∵-

b

2a

=

20

13

，0＜

20

13

＜

40

13

，
∴当t=

20

13

时，S有最大值为

48

13

；
②当

40

13

＜t≤5时，
DQ=OQ+AD-OA=t+

8

5

t-8=

13

5

t-8．
∴S=

1

2

DQ•CD=

1

2

（

13

5

t-8）•

6

5

t=

39

25

t²-

24

5

t．
∵-

b

2a

=

20

13

，

20

13

＜

40

13

，所以S随t的增大而增大，
∴当t=5时，S有最大值为15＞

48

13

．
综上所述，S的最大值为15．

（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，
∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，
∴△ACQ∽△AOB，
∴

AC

OA

=

AQ

AB

，
即

2t

8

=

8-t

10

，
解得t=

16

7

．
所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤

16

7

或

40

13

＜t≤5．

点评：本题考查了圆综合题型，主要利用了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，但难度不大，关键在于要考虑点Q、D两点重合前后两种情况，这也是本题容易出错的地方．