题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形；当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为__；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

解：（1）∵CE∥AB，
∴当∠EDB=∠B=60°时，四边形EDBC是等腰梯形时，
∵∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=30°，
即当α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形；
∵CE∥AB，∠B=60°，
∴当∠EDB=90°时，四边形EDBC是直角梯形，
∵∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=90°-30°=60°，
∴当α=60°时，四边形EDBC是直角梯形；
在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∴AC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∵O是中点，
∴AO= $\text{[math]}$ ，
在Rt△AOD中，OD= $\text{[math]}$ AO= $\text{[math]}$ ，
∴AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为：30，60， $\text{[math]}$ ；

（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．

∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四边形EDBC是平行四边形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，AC=2 $\text{[math]}$ ，
∴AO= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ ．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD= $\text{[math]}$ AD，
AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AD=2，
∴BD=2，
∴BD=BC．
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形．
分析：（1）根据旋转的性质和等腰梯形的性质，由CE∥AB，可得当∠EDB=∠B=60°时，四边形EDBC是等腰梯形时，则可求得α的度数；由CE∥AB，∠B=60°，可得当∠EDB=90°时，四边形EDBC是直角梯形，则可求得α的度数，然后利用含30°角的直角三角形的性质与勾股定理求得AD的长．
（2）根据∠α=∠ACB=90°先证明四边形EDBC是平行四边形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的长度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比较得BD=BC，可证明四边形EDBC是菱形．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、直角梯形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．