Question

如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）,抛物线的顶点为D.

1.求抛物线的解析式和顶点D的坐标

2.二次函数的图像上是否存在点P，使得S_△PAB＝8S_△ABD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

3.若抛物线的对称轴与x轴交于E点，点F在直线BC上，点M在的二次函数图像上，如果以点F、M、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请你求出符合条件的点M的坐标．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：（1）将A（－1，0）、C（0，－3）代入y＝x²＋bx＋c

　　∴

∴b＝－2，c＝－3

∴y＝x²－2x－3······································································································· 2分

y＝x²－2x－3＝（x－1）²－4或，＝－4

∴D（1，－4）

2.当y＝0时，x²－2x－3＝0

（x－3）（x＋1）＝0

x₁＝3，x₂＝－1

∴B（3，0），AB＝4

3.设直线的解析式为y＝kx＋b

∴

∴k＝1，b＝－3

∴y＝x－3

由题意知：DE＝4

∵F、M、D、E为顶点的四边形为平行四边形

∴FM∥DE，FM＝DE

∴（x²－2x－3）－（x－3）＝4

解得：x₁＝4，x₂＝－1

当x＝4时，x²－2x－3＝16－8－3＝5

当x＝－1时，x²－2x－3＝1＋2－3＝0

∴M₁（4，5）　　M₂（－1，0）       12分

【解析】（1）把A、C两点坐标代入二次函数中得出它的解析式，然后利用二次函数的性质求出顶点的坐标；

（2）先算出的值，从而得出的值，再设P点的坐标，利用三角形ABD的面积列出方程从而来求出P点的坐标；

（3）设直线的解析式为y＝kx＋b，把B、C两点坐标代入求得直线的解析式，再根据FMDE为平行四边形得出FM＝DE，列出方程，从而求出M点的坐标