Question

如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．
（1）求证：AF-BF=EF；
（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；
（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定首先得出△AED≌△BFA，进而得出AE=BF，即可证明结论；
（2）首先得出四边形EFGH是矩形，再利用△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，进而得出EF=EH，即可得出答案；
（3）首先求出AP的长，再利用三角形面积关系得出BF，AF的长，进而求出EF的长即可得出答案．

解答：（1）证明：∵DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，
∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
又∵∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△AED和△BFA中，

∠AED=∠AFB ∠EDA=∠FAB AD=AB

，
∴△AED≌△BFA，
∴AE=BF，
∴AF-AE=EF，即AF-BF=EF；

（2）证明：
∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，
∴△AED≌△BFA≌△DHC，
∴DH=AE=BF，AF=DE=CH，
∴DE-DH=AF-AE，
∴EF=EH，
∴矩形EFGH是正方形；

（3）解：∵AB=2，BP=1，
∴AP=

5

，
∵S_△ABP=

1

2

×BF×AP=

1

2

×BF×

5

=1×2×

1

2

，
∴BF=

2 5

5

，
∵∠BAF=∠PAB，∠AFB=∠ABP=90°，
∴△ABF∽△APB，
∴

BF

AF

=

BP

AB

=

1

2

，
∴AF=

4 5

5

，
∴EF=AF-AE=

4 5

5

-

2 5

5

=

2 5

5

，
∴四边形EFGH的面积为：（

2 5

5

）²=

4

5

．

点评：此题主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用已知得出BF=AE以及求出EF的长是解题关键．