Question

如图1，E、F、M、N是正方形ABCD四条边AB、BC、CD、DA上可以移动的四个点，每组对边上的两个点，可以连接成一条线段。

⑴如图2，如果EF∥BC， MN∥CD，那么EF      MN（位置），EF      MN（大小）

⑵如图3，如果E与A，F与C，M与B，N与D重合，那么EF      MN（位置），EF      MN（大小）

⑶当点E、F、M、N不再处于正方形ABCD四条边AB、BC、CD、DA特殊的位置时，猜想线段EF、MN满足什么位置关系时，才会有EF=MN，画出相应的图形，并证明你的猜想。

Answer 1

解：（1）EF⊥MN，EF=MN；

（2）EF⊥MN，EF=MN；

       （3）猜想：当EF⊥MN时，才会有EF=MN，如图，连接EF，作EF⊥MN。

证明猜想：过点N作NG⊥BC，过点F作FH⊥AB，

          又∵EF⊥MN

在Rt△MNG和Rt△EFH中，

∠1=∠2（等角的余角相等）

∠MGN=∠EHF=90°，

FH=NG

           ∴Rt△MNG≌ Rt△EFH

           ∴EF=MN