Question

 如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半

   轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重

   合，顶点C与点F重合；

   (1) 求拋物线的函数表达式；

   (2) 如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物

      线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，

      点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n) (m>0)。

      j 当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；

      k 在j的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；

      l 当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存

         在，请说明理由。

 

Answer 1

解 (1) 由拋物线y=ax²+c经过点E(0，16)、F(16，0)得：，解得a= -，c=16，

          ∴y= -x²+16；

      (2) j 过点P做PG^x轴于点G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16，

           ∴OG=OF=´16=8，即P点的横坐标为8，∵P点在拋物线上，

           ∴y= -´8²+16=12，即P点的纵坐标为12，∴P(8，12)，

           ∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，∴Q点的纵坐标为-4，

           ∵Q点在拋物线上，∴-4= -x²+16，∴x₁=8，x₂= -8，

           ∵m>0，∴x₂= -8(舍去)，∴x=8，∴Q(8，-4)；

           k 8-16<m<8；

           l 不存在；

              理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，∵P点在拋物线上，∴7= - x²+16，

              ∴x₁=12，x₂= -12，∵m>0，∴x₂= -12(舍去)，∴x=12，∴P点坐标为(12，7)，

              ∵P为AB中点，∴AP=AB=8，∴点A的坐标是(4，7)，∴m=4，

              又∵正方形ABCD边长是16，∴点B的坐标是(20，7)，

              点C的坐标是(20，-9)，∴点Q的纵坐标为-9，∵Q点在拋物线上，

              ∴ -9= -x²+16，∴x₁=20，x₂= -20，∵m>0，∴x₂= -20(舍去)，x=20，

              ∴Q点坐标(20，-9)，∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，

              ∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。