Question

3、有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用a_i和b_i，分别表示第i（I=1，2，3…18）支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

Answer 1

分析：根据题意，作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是解题的关键．

解答：解：由于每支球队都要进行18-1=17场比赛，则对于第i支球队有a_i+b_i=17，i=1，2，3，…18；由于比赛无平局，故所以参赛队的胜与负的总局数相等，即a₁+a₂+…+a₁₈=b₁+b₂+…b_18．
由（a₁²+a₂²+…+a₁₈²）-（b₁²+b₂²+…+b₁₈²）
=（a₁²-b₁²）+（a₂²-b₂²）+…+（a₁₈²-b₁₈²）
=17×[（a1+a2+…+a18）-（b1+b2+…b18）]
=0．
得a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

点评：本题考查了等式证明问题，作差比较是非常常用的方法．找出比赛规则下隐含的条件是证题的关键．