Question

如图，已知AB=3，BC=7，CD=5

2

．且AB⊥BC，∠BCD=135°．点M是线段BC上的一个动点，连接AM、DM．点M在运动过程中，则AM+DM的最小值=

4

13

．

Answer 1

分析：作出点D关于BC的对称点D′，连接AD′交BC于M，根据轴对称确定最短路线问题可知点M即为所求AM+DM的最小值时的点M，设DD′交BM的延长线于N，过点D′作D′E∥BC交AB的延长线于E，判断出△CDN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出CN=DN=5，然后求出BN，再判定出四边形BED′N是矩形，再根据矩形的对边相等求出BE=D′N，ED′=BN，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：如图，作点D关于BC的对称点D′，连接AD′交BC于M，则点M即为所求作的点，
根据线段垂直平分线的性质，MD=MD′，
∴AD′=AM+MD，
设DD′交BM的延长线于N，过点D′作D′E∥BC交AB的延长线于E，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCN=45°，
∴△CDN是等腰直角三角形，
∵CD=5

2

，
∴CN=DN=5

2

×

2

2

=5，
∴BN=BC+CN=7+5=12，
∵AB⊥BC，DD′⊥BN，D′E∥BC，
∴四边形BED′N是矩形，
∴BE=D′N=DN=5，ED′=BN=12，
∴AE=AB+BE=3+5=8，
在Rt△AED′中，AD′=

AE2+ED′2

=

82+122

=4

13

，
即AM+DM的最小值=4

13

．
故答案为：4

13

．

点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，主要利用了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，作出图形更形象直观．