Question

在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为s，周长为l，探索

s

l

与a+b-c的值之间的关系．
（1）填表：

三边a，b，c	a+b-c	l s
3，4，5
5，12，13
8，15，17

（2）分析后猜想：若设a+b-c=m（m为正实数），则

s

l

=

 

（用m表示）；
（3）请写出（2）中结论的推导过程．

Answer 1

分析：（1）按图中给出的信息进行计算即可；
（2）根据（1）中得出的结果，我们可看出m的值都是

s

l

的4倍，因此

s

l

=

m

4

；
（3）可先从a+b+c=l及a+b-c=m入手，让两者相乘正好可以用平方差公式进行化简．可得出a²+2ab+b²-c²=lm，我们发现a²+b²正好符合勾股定理应等于c²．而2ab又正好是4s，因此原式最终可化简为4s=lm，就此可得出结论．

解答：解：（1）a+b-c的值依次为2，4，6；

s

l

的值依次为

1

2

，1，

3

2

；

（2）

m

4

；

（3）由a+b+c=l及a+b-c=m，得（a+b+c）（a+b-c）=lm，
即a²+2ab+b²-c²=lm，因为a²+b²=c²，
所以2ab=lm，再由

1

2

ab=s，得2ab=4s，所以4s=lm，故

s

l

=

m

4

．

点评：本题考查了多项式乘多项式，要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值，再证明规律的过程中，运用整式运算的知识将整式进行正确的化简合并是解题的关键．