Question

已知关于x的方程 kx²-2 (k+1) x+k-1="0" 有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）k>-1且k≠0；（2）不存在

解析试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得根的判别式△，即可得到关于k的不等式，再结合一元二次方程根的二次项系数不为0求解即可；
（2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x₁ , x₂的倒数和为0，则x₁，x₂不为0，且，根据根与系数的关系可得，且，解得k=-1，而这与（1）中k的范围矛盾，即可作出判断.
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=[-2(k＋1)]²－4k(k-1)>0，且k≠0，解得k>-1，且k≠0
即k的取值范围是k>-1且k≠0；
（2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x₁ , x₂的倒数和为0.
则x₁，x₂不为0，且，即，且，解得k="-1" .
而k="-1" 与方程有两个不相等实根的条件k>-1，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在.
考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
点评：解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．