Question

（2007•日照）如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于    ．

Answer 1

【答案】分析：作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，根据绕顶点A逆时针旋转30°，计算出边，然后求面积．
解答：解：如图，作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，
∵四边形WEFD是矩形，∠BAB′=30°，
∴∠B′AF=60°，∠FB′A=30°，∠WB′E=60°，
∴B′F=AB′sin60°=，AF=AB′cos60°=，WE=DF=AD-AF=，
EB′=WE′cot60°=，EF=B′F-B′E=，
∴S_△B′FA=，S_△B′EW=，S_WEFD=，
∴公共部分的面积=S_△B′FA+S_△B′EW+S_WEFD=；
法2：连接AW，如图所示：

根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°，
在Rt△ADW和Rt△AB′W中，
∵，
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL），
∴∠B′AW=∠DAW=DAB′=30°，
又∵AD=AB′=1，
在Rt△ADW中，tan∠DAW=，即tan30°=WD，
解得：WD=，
∴S_△ADW=S_△AB′W=WD•AD=，
则公共部分的面积=S_△ADW+S_△AB′W=．
故答案为．
点评：本题利用了正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解．