Question

在?ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E．
（1）圆心O到CD的距离是

 

．
（2）求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

Answer 1

分析：（1）连接OE，则OE的长就是所求的量；
（2）阴影部分的面积等于梯形OADE的面积与扇形OAE的面积的差．

解答：解：（1）连接OE．
∵边CD切⊙O于点E．
∴OE⊥CD
则OE就是圆心O到CD的距离，则圆心O到CD的距离是

1

2

×AB=5．
故答案是：5；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴∠C=∠DAB=180°-∠ABC=120°，
∴∠BOE=360°-90°-60°-120°=90°，
∴∠AOE=90°，
作EF∥CB，∴∠OFE=∠ABC=60°，
在直角三角形OEF中，OE=5，
∴OF=OE•tan30°=

5 3

3

．EC=BF=5-

5 3

3

．
则DE=10-5+

5 3

3

=5+

5 3

3

，
则直角梯形OADE的面积是：

1

2

（OA+DE）×OE=

1

2

（5+5+

5 3

3

）×5=25+

25 3

6

．
扇形OAE的面积是：

90π×52

360

=

25π

4

．
则阴影部分的面积是：25+

25 3

6

-

25π

4

．

点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确作出辅助线，把阴影部分的面积转化为梯形OADE的面积与扇形OAE的面积的差是解题的关键．