Question

如图，已知抛物线y=a（x-1）²-与x轴交于A、B两点（点A在左边），且过点D（5，-3），顶点为M，直线MD交x轴于点F．
（1）求a的值；
（2）以AB为直径画⊙P，问：点D在⊙P上吗？为什么？
（3）直线MD与⊙P存在怎样的位置关系？请说明理由．

Answer 1

解：（1）把D（5，-3）代入y=a（x-1）²-，
得：a=．

（2）y=（x-1）²-，
令y=0，得：x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10．
∵AB为⊙P的直径，
∴P（1，0），
∴⊙P的半径r=5
过点D作DE⊥x轴于点E，则E（5，0）．
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD==5，
∴PD与⊙P的半径相等，
∴点D在⊙P上．

（3）设直线MD的函数解析式为：y=kx+b（k≠0）
把M（1，-），D（5，-3）代入
得：，
∴，
∴直线MD的函数解析式为：y=x-．
设直线MD与x轴交于点F，
令y=0则0=x-，
得x=．
∴F（，0），
∴EF=-5=，
∴DF²=EF²+DE²=，
PF²=（OF-OP）²=（-1）²=，
DP²=25，
∴DP²+DF²=PF²
∴FD⊥DP，
又∵点D在⊙P上，
∴直线MD与⊙P相切．
分析：（1）将D（5，-3）代入解析式即可求出a的值；
（2）求出⊙P的半径，计算出PD的长，与半径比较即可判断点D是否在⊙P上；
（3）由于MD经过半径的外端，通过勾股定理的逆定理判断出∠PDF=90°即可直线MD与⊙P相切．
点评：此题是一道结论开放性题目，考查了点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，通过函数解析式求出相应点的坐标及线段的长，是解答此题的必要环节．