Question

把等边△ABC沿直线l对折，使点B落在AC上得P处，AP﹕PC=1﹕2，则BE﹕BF等于

1. A.
   1：2
2. B.
   2：3
3. C.
   3：4
4. D.
   4：5

Answer 1

D
分析：设AP=a，BE=x，BF=y，则PC=2a，AC=3a，根据等边三角形的性质得AB=BC=AC=3a，∠ABC=∠C=∠A=60°，则根据折叠的性质得PE=BE=x，PF=BF=y，∠EPF=60°，所以∠1+∠2=120°，根据三角形内角和定理有∠1+∠3=120°，代换后得∠2=∠3，根据相似三角形的判定得到△AEP∽△CPF，则==，即==，根据比例性质有3ay-xy=2ax，ay=3ax-xy，变形得到4ay=5ax，所以x：y=4：5．
解答：如图，
设AP=a，BE=x，BF=y，则PC=2a，AC=3a，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=3a，∠ABC=∠C=∠A=60°，
∴AE=3a-x，CF=3a-y，
∵等边△ABC沿直线l对折，使点B落在AC上得P处，
∴PE=BE=x，PF=BF=y，∠EPF=60°，
∴∠1+∠2=120°，
∵∠1+∠3=120°，
∴∠2=∠3，
∴△AEP∽△CPF，
∴==，即==，
∴3ay-xy=2ax①，ay=3ax-xy②，
①+②得4ay=5ax，
∴x：y=4：5，
即BE﹕BF=4：5．
故选D．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等边三角形性质和相似三角形的判定与性质．