Question

【题目】如图1，点是正方形边上任意一点，以为边作正方形，连接，点是线段中点，射线与交于点，连接．

（1）请直接写出和的数量关系和位置关系．

（2）把图1中的正方形绕点顺时针旋转，此时点恰好落在线段上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

（3）把图1中的正方形绕点顺时针旋转，此时点、恰好分别落在线段、 上，连接，如图3，其他条件不变，若，，直接写出的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

(1)证明ΔFME≌ΔAMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC，EM，由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．

解：（1）结论：CM＝ME，CM⊥EM．

理由：∵AD∥EF，AD∥BC，

∴BC∥EF，

∴∠EFM＝∠HBM，

在△FME和△BMH中，

∴△FME≌△BMH（ASA），

∴HM＝EM，EF＝BH，

∵CD＝BC，

∴CE＝CH，∵∠HCE＝90°，HM＝EM，

∴CM＝ME，CM⊥EM．

（2）如图2，连接，

∵四边形和四边形是正方形，

∴

∴点在同一条直线上，

∵，为的中点，

∴，，∴，

∵，∴，

∵，

∴

∴，

∴，

∴．

（3）如图3中，连接EC，EM．

由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，

∵

∴CM＝EM＝