Question

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠P的度数；
（2）若∠A=60°，求∠P的度数；
（3）那么∠A和∠P有什么样的数量关系？请简述理由．

Answer 1

分析：注意充分运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和以及角平分线的概念，推导得出∠P和∠A之间的关系．

解答：解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠A=60°．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=100°．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=20°，∠PCD=50°，
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD-∠PBC=30°；

（2）∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD-∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠P=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC=

1

2

∠A=30°；

（3）∠P=

1

2

∠A．
理由：∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCD-∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠P=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC=

1

2

∠A．

点评：特别注意此题发现的结论：∠P=

1

2

∠A．