Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的

5

4

倍时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）将A、B代入抛物线的解析式中，可得出a、b的关系式，然后用a表示出抛物线的解析式．根据图象首先肯定的是抛物线的开口向下，因此a＜0，由于抛物线顶点在第二象限即抛物线对称轴在y轴左侧，根据抛物线的对称性可知：A点关于抛物线的对称点必在（-1，0）的左侧，因此当x=-1时，抛物线的值必大于0由此可求出a的取值范围；
（2）根据抛物线的解析式（只含a一个待定系数的函数式）表示出顶点M和C点的坐标，然后根据题中给出的面积的等量关系式，可求出a的值．

解答：解：（1）由图象可知：a＜0
图象过点（0，1），
所以c=1，图象过点（1，0），
则a+b+1=0
当x=-1时，应有y＞0，则a-b+1＞0
将a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0，
解得a＞-1
所以，实数a的取值范围为-1＜a＜0；

（2）此时函数y=ax²-（a+1）x+1，
M点纵坐标为：

4a-(a+1)2

4a

=

-(a-1)2

4a

，
图象与x轴交点坐标为：ax²-（a+1）x+1=0，
解得；x ₁=1，x ₂=

1

a

，
则AC=1-

1

a

=

a-1

a

，
要使S_△AMC=

1

2

×

-(a-1)2

4a

×

a-1

a

=

(1-a)3

8a2

=

5

4

S_△ABC=

5

4

•

a-1

2a

可求得a=

-3+ 5

2

．

点评：本题主要考查了抛物线的性质、图形面积的求法等知识点．