Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，tanB=2，将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△BDE，其中点A、C分别运动到点D、E，联结AE，AE、CB的延长线相交于点F，那么线段AF的长等于________．

Answer 1

分析：延长DE交AC于H点，根据正切的定义可计算出AC=2，再根据旋转的性质得∠CBE=90°，∠DEB=∠ACB=90°，BE=BC=1，则四边形BCHE为正方形，所以CH=HE=1，AH=1，于是可判断△AHE为等腰直角三角形，则△ACF为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得AF=AC=2．
解答：延长DE交AC于H点，如图，
∵∠ACB=90°，BC=1，tanB=2，
而tanB=，
∴AC=2BC=2，
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△BDE，
∴∠CBE=90°，∠DEB=∠ACB=90°，BE=BC=1，
∴四边形BCHE为正方形，
∴CH=HE=1，
∴AH=2-1=1，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴AF=AC=2．
故答案为2．
点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．