Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB、FC．

（1）求证：四边形ABFC是菱形；

（2）若AD=，BE=1，求半圆的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）半圆的面积是

【解析】

（1）由AB是直径可得∠AEB＝90°，根据等腰三角形的性质可得BE＝CE，进而可得四边形ABFC是平行四边形，再根据菱形的定义即可证得结论；

（2）连接，如图，设，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求出x，进一步即可求出半圆面积．

（1）证明：∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BE＝CE，

∵AE＝EF，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∵AC＝AB，

∴平行四边形ABFC是菱形；

（2）解：连接，如图，设，则AC=x，

∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，

则，

解得：（舍），，

∴半圆的面积．

答：半圆的面积是．