Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-

3

）．
（1）求该抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S_△POA=2S_△AOB．

Answer 1

分析：（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，-

3

）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．
（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2

3

，代入函数解析式可得出点P的横坐标．

解答：解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax²+bx（a≠0），
又∵函数的顶点坐标为（3，-

3

），
∴

- b 2a =3 9a+3b=- 3

，
解得：

a= 3 9 b=- 2 3 3

，
故函数解析式为：y=

3

9

x²-

2 3

3

x，
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；

（2）∵S_△POA=2S_△AOB，
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2

3

，
代入函数解析式得：2

3

=

3

9

x²-

2 3

3

x，
解得：x₁=3+3

3

，x₂=3-3

3

，
即满足条件的点P有两个，其坐标为：P₁（3+3

3

，2

3

），P₂（3-3

3

，2

3

）．

点评：此题考查了二次函数的综合题目，涉及了待定系数法求函数解析式，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．