题目内容
如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A+∠B=90°．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA=6，BC=8，求BD的长．
分析：（1）连接OC，由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍得到∠COD=2∠A，由2∠A与∠B之和为90度，得到∠COD与∠B互余，在三角形COB中，得到∠OCB为直角，即可确定出BC为圆O的切线；
（2）在直角三角形OCB中，由OC与BC的长，利用勾股定理求出OB的长，由OB-OD即可求出BD的长．
（2）在直角三角形OCB中，由OC与BC的长，利用勾股定理求出OB的长，由OB-OD即可求出BD的长．
解答：
（1）证明：连接OC，
∵
=
，
∴∠COD=2∠A，
∵2∠A+∠B=90°，
∴∠COD+∠B=90°，
在△OCB中，∠OCB=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在⊙O中，OC=OA=OD=6，
∵∠OCB=90°，BC=8，
∴根据勾股定理得：OB2=OC2+BC2，
∴OB=10，
∴BD=OB-OD=10-6=4．
（1）证明：连接OC，∵
 |
| CD |
|
| CD |
∴∠COD=2∠A，
∵2∠A+∠B=90°，
∴∠COD+∠B=90°，
在△OCB中，∠OCB=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在⊙O中，OC=OA=OD=6，
∵∠OCB=90°，BC=8，
∴根据勾股定理得：OB2=OC2+BC2，
∴OB=10，
∴BD=OB-OD=10-6=4．
点评：此题考查了切线的判定，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
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