题目内容
（2013•邯郸一模）尝试探究：
小张在数学实践活动中，画了一个Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=1，AC=2，再以B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心以AD长为半径画弧交AC于点E，如图，则AE=
-1
-1；此时小张发现AE2=AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．
拓展延伸：
小张利用上图中的线段AC及点E，接着构造AE=EF=CF，连接AF，得到下图，试完成以下问题：
①求证△ACF∽△FCE
②求∠A的度数；
③求cos∠A
应用迁移：
利用上面的结论，直接写出：
①半径为2的圆内接正十边形的边长为
-1
-1
②边长为2的正五边形的对角线的长为
+1
+1．
小张在数学实践活动中，画了一个Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=1，AC=2，再以B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心以AD长为半径画弧交AC于点E，如图，则AE=
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| 5 |
拓展延伸：
小张利用上图中的线段AC及点E，接着构造AE=EF=CF，连接AF，得到下图，试完成以下问题：
①求证△ACF∽△FCE
②求∠A的度数；
③求cos∠A
应用迁移：
利用上面的结论，直接写出：
①半径为2的圆内接正十边形的边长为
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| 5 |
②边长为2的正五边形的对角线的长为
| 5 |
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分析：尝试探究：首先利用勾股定理计算出AB的长，进而得出AD=AE=
-1，再分别求出AE2与AC•EC的值，即可得出答案；
拓展延伸：①利用AE2=AC•EC，得出
=
，进而得出
=
，即可得出△ACF∽△FCE；
②利用△ACF∽△FCE，得出AC=AF，进而利用三角形内角和定理得出∠A的度数；
③过点F作FM⊥AC交AC于点M，由（1）可知AE=
-1，EC=3-
，求出ME=
，以及AM=
，即可得出cos∠A；
应用迁移：①设AF=AC=2，设FC=EF=x，利用△ACF∽△FCE，求出即可；
②根据边长为2的正五边形，设AE=EF=FC=2，△ACF∽△FCE，进而求出即可．
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拓展延伸：①利用AE2=AC•EC，得出
| AC |
| AE |
| AE |
| EC |
| AC |
| FC |
| FC |
| EC |
②利用△ACF∽△FCE，得出AC=AF，进而利用三角形内角和定理得出∠A的度数；
③过点F作FM⊥AC交AC于点M，由（1）可知AE=
| 5 |
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3-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
应用迁移：①设AF=AC=2，设FC=EF=x，利用△ACF∽△FCE，求出即可；
②根据边长为2的正五边形，设AE=EF=FC=2，△ACF∽△FCE，进而求出即可．
解答：解：尝试探究：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB=
，
∴AD=AE=
-1，
∵AE2=（
-1）2=6-2
，AC•EC=2[2-（
-1）]=6-2
，
∴结论正确；
故答案为：
-1，
拓展延伸：
①∵AE2=AC•EC，
∴
=
，
∵AE=FC，
∴
=
，
又∵∠C=∠C，
∴△ACF∽△FEC，
②∵△ACF∽△FEC，且EF=FC，
∴AC=AF，
∵AE=EF，
∴∠A=∠AFE，
∴∠FEC=2∠A，
∵EF=FC，
∴∠C=2∠A，
∴∠AFC=∠C=2∠A，
∵∠AFC+∠C+∠A=180°，
∴∠A=36°，
③过点F作FM⊥AC交AC于点M，
由（1）可知AE=
-1，EC=3-
，
∵EF=FC，由②得：AC=AF=2，
∴ME=
，
∴AM=
，
∴cos∠A=
=
；
应用迁移：
①∵半径为2的圆内接正十边形，
∴设AF=AC=2，设FC=EF=x，
∵△ACF∽△FCE，
∴
=
，
∴
=
，
解得：EF=
-1，
∴半径为2的圆内接正十边形的边长为：
-1，
故答案为：
-1，
②∵边长为2的正五边形，
∴设AE=EF=FC=2，
∵△ACF∽△FCE，
∴
=
，
∴
=
，
解得：AF=
+1，（负值舍去），
∴边长为2的正五边形的对角线的长为
+1，
故答案为：
+1．
∴AB=
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∴AD=AE=
| 5 |
∵AE2=（
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
∴结论正确；
故答案为：
| 5 |
拓展延伸：
①∵AE2=AC•EC，
∴
| AC |
| AE |
| AE |
| EC |
∵AE=FC，
∴
| AC |
| FC |
| FC |
| EC |
又∵∠C=∠C，
∴△ACF∽△FEC，
②∵△ACF∽△FEC，且EF=FC，
∴AC=AF，
∵AE=EF，
∴∠A=∠AFE，
∴∠FEC=2∠A，
∵EF=FC，
∴∠C=2∠A，
∴∠AFC=∠C=2∠A，
∵∠AFC+∠C+∠A=180°，
∴∠A=36°，
③过点F作FM⊥AC交AC于点M，
由（1）可知AE=
| 5 |
| 5 |
∵EF=FC，由②得：AC=AF=2，
∴ME=
3-
| ||
| 2 |
∴AM=
| ||
| 2 |
∴cos∠A=
| AM |
| AF |
| ||
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应用迁移：
①∵半径为2的圆内接正十边形，
∴设AF=AC=2，设FC=EF=x，
∵△ACF∽△FCE，
∴
| AF |
| EF |
| FC |
| EC |
∴
| 2 |
| EF |
| EF |
| 2-EF |
解得：EF=
| 5 |
∴半径为2的圆内接正十边形的边长为：
| 5 |
故答案为：
| 5 |
②∵边长为2的正五边形，
∴设AE=EF=FC=2，
∵△ACF∽△FCE，
∴
| AF |
| EF |
| FC |
| EC |
∴
| AF |
| 2 |
| 2 |
| AF-2 |
解得：AF=
| 5 |
∴边长为2的正五边形的对角线的长为
| 5 |
故答案为：
| 5 |
点评：此题主要考查了相似三角形判定与性质以及勾股定理等知识，利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系是解题关键．
练习册系列答案
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