Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE=DE，DF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，根等腰三角形的性质得∠C=∠B，∠B=∠1，则∠C=∠1，根据平行线的判定方法得OD∥AC，则∠2=∠FDO，而DF⊥AC，则∠2=90°，于是∠FDO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，利用等腰三角形的性质得∠3=∠4，根据圆周角定理得到弧ED=弧DB，而弧AE=弧DE，于是弧DE=弧DB=弧AE，∠B=2∠4，即可得到∠B=60°，则△OBD为等边三角形，且有∠C=60°，在Rt△CFD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到CF=DF=，CD=2CF=，则OB=DB=CD=．
解答：（1）证明：连接OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠1，
∴∠C=∠1，
∴OD∥AC．
∴∠2=∠FDO，
∵DF⊥AC，
∴∠2=90°，
∴∠FDO=90°，
∵OD为半径，
∴FD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴∠3=∠4．
∴弧ED=弧DB
而弧AE=弧DE，
∴弧DE=弧DB=弧AE，
∴∠B=2∠4，
∴∠B=60°，
∴∠C=60°，△OBD为等边三角形，
在Rt△CFD中，DF=2，∠CDF=30°，
∴CF=DF=，
∴CD=2CF=，
∴DB=，
∴OB=DB=，
即⊙O的半径为．
点评：本题考查了圆的综合题：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系在几何证明和计算中经常用到．