Question

如图 
（1）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是

矩形

，当a=90°时，

BP

BQ

的值是

4

7

．
（2）①如图（2），当四边形OA′B′C′绕点O旋转时△POQ的面积为

45

2

时，求

BP

BQ

的值；
②如图（3），当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0＜a≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=

1

2

BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据有一个角是直角的平行四边形即可得出四边形OABC是矩形，当α=90°时，可知

BP

PQ

=

4

3

，根据比例的性质得出

BP

BQ

=

4

7

；
（2）①连接利用三角形的面积公式求出PQ的长，所以PC+CQ=

15

2

，又因为BP+PC=BC=8，BP-CQ=

1

2

，进而求出BP的值，从而BQ可求，所以

BP

BQ

=

3

21 2

=

3

7

；②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0＜a≤180°时，存在这样的点P和点Q，使BP=

1

2

BQ．构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得PC的长，进一步求得坐标．

解答：解：（1）∵O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），
∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如右图1，
根据题意，得

BP

PQ

=

4

3

，则

BP

BQ

=

4

7

；

（2）①连接OQ，如图2，
∵S△POQ=

1

2

PQ•OC=

45

2

，OC=6，
∴PQ=

15

2

，
∴PC+CQ=

15

2

，
∵BP+PC=BC=8，
∴BP-CQ=

1

2

，
∴BP=3，CQ=

5

2

，
∴BQ=3+

15

2

=

21

2

，
∴

BP

BQ

=

3

21 2

=

3

7

；
②如图3，
∵在△OCP和△B′A′P中，

∠OPC=∠B′PA′ ∠OCP=∠A′=90° OC=B′A′

，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．设B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=

25

4

，
∴S_△OPB′=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

；

（3）存在这样的点P和点Q，使BP=

1

2

BQ．
理由如下：过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=

1

2

PQ•OC，S_△POQ=

1

2

OP•QH，
∴PQ=OP．
设BP=x，∵BP=

1

2

BQ，
∴BQ=2x，
如图4，当点P在点B左侧时，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得x1=1+

3 6

2

，x2=1-

3 6

2

，（不符实际，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+

3 6

2

，
∴P₁（-9-

3 6

2

，6），
如图5，当点P在点B右侧时，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

，
∴PC=BC-BP=8-

25

4

=

7

4

，
∴P₂（-

7

4

，6），
综上可知，存在点P₁（-9-

3 6

2

，6），P₂（-

7

4

，6）使BP=

1

2

BQ．
故答案为：矩形；

4

7

．

点评：本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．